無限のなかの数学 (岩波新書)

真に理論的な数学史の本です。とても面白いです。

３章「無限ｊへの問いかけ」のなかの１４０ページからの２．フーリエ級数の叙述が、目の
覚めるほど素晴らしかった。

一種の無限と言える円を回転する動点がある。回転する大きさをｘ、高さをsinxとし、ｘを
横座標、sinxを縦軸にめもると、動点の動きは三角関数で示されるが、さまざまな速さの
三角関数を組み合わせたフーリエ級数によって、あらゆる関数f(x)が近似される。
フーリエ級数の係数は積分であるが、この平均計算によって、これまで微分の陰になって
いた積分が前面に出てくる。
またフーリエ級数によって再現される関数は、これまでの解析関数の枠を超えて、任意のグ
ラフ図形に拡張される。
あらゆる自然現象（社会現象）の観察結果はグラフであり、微分方程式の解だけでなく、こ
うした、観察結果がフーリエ級数で表現されるのである。
これはまた、あらゆる関数の集合という考えにつながっていく。

ところでフーリエの係数は積分であり、この積分は一種の平均操作でもあるが、この係数の
平均的な挙動を総合することによって、もとの関数f(x),あるいは観察データの動きが復元
されるのだ。
といった話である。

さらに本文では、いまのフーリエ級数の（復元の）一意性の問題から、カントールの集合
論が導かれたことが記述されている。

一般人向きではない

数学には，ゼロやπ，そして無限といったよく聞く割には不思議な数があります．

三角関数の成り立ちなどが歴史的経緯とともに導かれており，昔勉強したことを改めて勉強し直した感じです．しかしながら，内容的には，巾級数展開やフーリエ級数，集合論など大学の教養課程あたりの数学を勉強していないと，「無限」にロマンを求めてこの本を読むとちょっと苦労するかもしれません．心してかかって下さい．

大学生は教科書と併せて読むとよいのではないでしょうか．

計算力が身に付く「無限」の本、関数空間に至るまでの道程が分かる

無限に関する新書としては、集合論から「ゲーデルの不完全性定理」に至るまでを解説する良書が何冊かありますが(※１)、本書は無限級数に関する計算に重点を置いている処が特徴的ですね。理系高校生〜大学教養時代に本書を通読すれば、確実に数学センスが上がるでしょう。大学数学ではTaylor展開で三角関数のべき級数表示を習って、そこからオイラーの公式(e^(iθ)=cosθ+isinθ)を知るのが最短ルート(※２)だと思いますが、本書では(Taylor展開の前知識なしの)発見学的な導き方が載っていて、ここは「目からウロコ」でした。(@o@);; sin-1(x)やtan-1(x)の積分表示を幾何学的に導いた後にべき級数を導き、そこからπの公式を求める処もスマートです。フーリエ級数〜関数空間の話は、量子力学の勉強を始める前にチラッと読んでおくと「なぜこんな数学的概念(関数空間)が思いつくんだ？」なんてことで悩まなくて済むかもですょ。(^-^)
(※１)「無限論の教室」(野矢茂樹),「無限の果てに何があるか」(足立恒雄)、(※２)「オイラーの贈物」(吉田武)
【追記】「2008年5月20日ごろ重版でき」だそうです。(岩波書店ＨＰより)

三角関数について真に知りたかったことがここに！！！

この本の８２ページからには自分が知りたくて知りたくてたまらなかったことが書かれていました。
それは三角関数の級数展開の式はどのようにして出てきたのかという問いに対する答えです。
天下り式に教えられる級数展開の式にも納得できる導出方法があったのです。
このようなことが書かれている数学書ってあるのでしょうか？皆無ではないですか？
大数学者さん達は難解な本を出します。が、このような導出方法などについての記述はまったく書いてありません。
本当に必要とされるのはこのような導出方法なのだと心底思います。
私はこのような「数学のアイデア」みたいなことをもっともっと知りたくてたまりません！！。

無限を簡単に扱う本は存在しない

『無限』というところに着目したのはいいが、書いてあることは中途半端に終わっている。
この『無限』と扱っている本の中に、『無限のパラドックス』(足立恒雄著)があるが、こちらのほうが内容が高級である。啓蒙書としては、はるかに『無限のパラドックス』のほうが難しいが、その分読者のレベルは確実に上がる。『無限のなかの数学』は、中学生が読む本でしょう。高校生だと、おそらくスラ～と読めてしまう。読むのは人それぞれだが、なるべく刺激がある本を読んだほうがいいのではなかろうか。
最後まで、読んだが退屈だった。